Vaeur de nombre PI

Il y a une chose qui m'étonnera toujours, c'est la valeur du nombre PI.

Un nombre de chiffres incroyable après la virgule.

Est-ce à cause de l'absence d'angle du cercle ?

Prenons un fil de fer souple, on en fait un rond donc avec une circonférence égale au diamètre x PI.

Penons maintenant le même fil de fer, et on en fait un carré. Là, il a bien 4 côtés égaux dont la mesure n'est pas aussi sophistiquée.

Donc, voilà, pour moi, c'est une énigme.

Au niveau expérimental, il est vrai qu'on peut approximer pi de façon assez mauvaise comme tu le proposes, mais il faut que ton cercle et ton carré soient "parfaits", ce qui est impossible même mathématiquement, puisque sinon on pourrait effectivement mesurer pi. Cela signifie que pour tout cercle que tu formeras avec la matière, il y aura forcément des molécules "qui dépassent", qui font que le cercle est légèrement cabossé.

Plutôt que de prendre pi, tu aurais pu aussi prendre racine de 2, par exemple, qui est la longueur de la diagonale d'un carré de côté 1. Encore une fois, le carré n'est qu'un objet mathématique, et cela n'existe pas dans la réalité de façon aussi parfaite.

Le problème avec la réalité, c'est qu'elle est discrète, du moins la matière l'est, donc on ne peut approximer qu'avec une précision finie.
En revanche, dans l'espace, il existe des distances irrationnelles, sans problème si on suppose que celui-ci est continu, puisqu'on pourra se rapprocher autant qu'on veut d'une distance égale à pi par exemple, mais on ne pourra jamais la mesurer, puisque pour cela, il faudrait faire intervenir de la matière pour délimiter la distance au moins.

Citation :

Cela signifie que pour tout cercle que tu formeras avec la matière, il y aura forcément des molécules "qui dépassent", qui font que le cercle est légèrement cabossé.

Donc la circonférence d'un cercle est approximative lorsqu'il s'agit d'un cercle formé de matière, donc un objet quel qu'il soit ?

Tu veux donc dire qu'il existe des cercles non formés de matière ?

Un objet mathématique peut n'être qu'un concept ?

Citation :

Donc la circonférence d'un cercle est approximative lorsqu'il s'agit d'un cercle formé de matière, donc un objet quel qu'il soit ?

Si je ne m'abuse, oui (car pi étant irrationnel, il ne peut en être autrement).
En fait, ça doit faire un peu comme ça: prends des billes, et compresse leur ensemble sur les bords, de façon à ce que les billes soient le plus serrées possible, et forment ce qui ressemble le plus à un cercle.
Alors, lorsque tu vas compter le nombre de billes entre le centre et une bille périphérique, tu ne vas pas trouver exactement le rayon du cercle "idéal".

En fait, si le cercle n'est pas "plein" (un disque), on peut former quelquechose qui soit proche d'un cercle: lorsque tu places des billes centrées sur des points d'un même cercle, si les billes sont conjoints, tu formes presque un cercle. En fait, si tu essayes de parcourir ce cercle avec ton doigt, si ton doigt est rectiligne et suffisamment long, tu devrais parcourir un vrai cercle, car tu parcouras le cercle "tangent extérieurement" aux billes (tu ne toucheras que le point le plus éloigné du centre de la bille et du centre du cercle fictif, comme la surface de contact entre un train et un rail).
Mais matériellement, les billes ne forment évidemment pas un vrai cercle.

Citation :

Tu veux donc dire qu'il existe des cercles non formés de matière ?

Bin tu peux toujours les imaginer. Si tu considères l'espace comme un ensemble de points, il existe bien des cercles "imaginaires" dans l'espace, exactement comme l'équateur par exemple.

Citation :

Un objet mathématique peut n'être qu'un concept ?

Bien sûr! C'est même de plus en plus souvent le cas.
Ce qui fait que les maths peuvent avoir des applications pratiques est le fait que les axiomes choisis représentent quelquechose de réel, et on a développé suffisamment d'outils pour bien modéliser le réel.
Mais les maths en elle-mêmes sont même purement conceptuelles:
prends une chute libre: tu peux dire qu'il n'y a que le poids qui s'exerce. On peut le modéliser par une fonction mathématique. Seulement, ce poids varie en fonction de l'altitude, et déjà, on sert de l'idéal mathématique. Mais on connaît d'autres fonctions permettant de préciser le modèle.
Ensuite on peut rajouter les frottements de l'air. On rajoute encore une fonction "frottements", etc.
On ne peut atteindre la réalité de cette manière, on ne peut que l'approximer. En cela, les mathématiques sont purs concepts, car ce qu'elles représentent sont des idéaux, n'ayant aucune existence propre dans le réel, et correspondant exactement à la notion de concept: prendre d'un objet réel des caractéristiques, souvent communes à plusieurs objets, non suffisantes pour définir totalement l'objet et n'ayant aucune existence propre.

C'est un peu comme le schéma de Platon, avec les Idées qui informent la réalité: celle-ci n'est jamais idéale.

Pour prendre un exemple plus concret, un espace à n dimensions est bien un pur concept, ainsi que les géométries hyperboliques, où par un point extérieur à une droite passent une infinité de parallèles, etc.

Merci de tes explications.

En fait la nature n'a pas vraiment de lois mathématiqes, c'est nous qui cherchont à lui en trouver avec tous nos concepts mathématiques.

Moi je dirai que les mathématiques sont le reflet de la réalité. Des principes abstraits qui correspondent à une réalité concraite.

musichien a écrit:

Au niveau expérimental, il est vrai qu'on peut approximer pi de façon assez mauvaise comme tu le proposes, mais il faut que ton cercle et ton carré soient "parfaits", ce qui est impossible même mathématiquement, puisque sinon on pourrait effectivement mesurer pi. Cela signifie que pour tout cercle que tu formeras avec la matière, il y aura forcément des molécules "qui dépassent", qui font que le cercle est légèrement cabossé.

Ne peut-on concevoir "mathématiquement" qu'un nombre aux décimales aussi infinies que pi soit considéré comme sa propre unité? Il devient, dès lors fini et très précis, non?

La problématique ne s'inverse-t-elle pas, alors?

On sait qu'un cercle de diamètre "1" a comme circonférence pi.

Si c'est pi qui devient "1", c'est le diamètre qui devient dès lors décimalement infini, non?

musichien a écrit:

Plutôt que de prendre pi, tu aurais pu aussi prendre racine de 2, par exemple, qui est la longueur de la diagonale d'un carré de côté 1. Encore une fois, le carré n'est qu'un objet mathématique, et cela n'existe pas dans la réalité de façon aussi parfaite.

Je ne sais pas. Prenons un carré, fixons une diode à un de ces sommets, puis mettons-le en rotation rapide autour d'un axe quelconque situé dans le carré. La vision du sommet allumé par l'observateur deviendra un cercle parfait. Inversement, du cercle parfait obtenu, ne peut-on en jouant sur un intervalle d'allumage de la diode obtenir 4 points équivalent aux sommets d'un carré parfait?

Qu'elle est la référence de la perfection d'une réalité, sinon l'observateur? Parler d'échelle de réalité (macroscopique, microscopique), n'est-ce pas changer cette référence qu'est l'observateur en cours d'expérience?

musichien a écrit:

Le problème avec la réalité, c'est qu'elle est discrète, du moins la matière l'est, donc on ne peut approximer qu'avec une précision finie.

Le rêve d'absolu du mathématicien est le même que celui du philosophe, et se heurte à la même contrainte : l'objet absolu n'est ni observable et encore moins accessible aux humains que nous sommes. Nous pouvons le théoriser, mais pas l'expérimenter. Les axiomes sont valables jusqu'à un certain point de précision.

musichien a écrit:

En revanche, dans l'espace, il existe des distances irrationnelles, sans problème si on suppose que celui-ci est continu, puisqu'on pourra se rapprocher autant qu'on veut d'une distance égale à pi par exemple, mais on ne pourra jamais la mesurer, puisque pour cela, il faudrait faire intervenir de la matière pour délimiter la distance au moins.

Mais qu'est-ce que la matière sinon la référence que nous en faisons en tant qu'observateur appartenant à notre réalité sensible. Personne n'a jamais vu un atome. La description que nous en faisons et les applications que l'on en tire fonctionne correctement à notre échelle d'observation. À des niveaux d'observation inférieures à notre réalité, la matière se comporte comme une onde. La matière devient alors comme un tissu dont on aurait tiré sur tous les fils et qui perdrait toute substance.

J'aimerais tant que l'on aborde la théorie quantique. Cela me fascine

Ils sont très intéressants tes posts, musichien. Vraiment. La preuve, il est près de 4h du matin et je n'ai pas envie d'aller dormir

Dieu ne dort pas.
Abordons la physique quantique, mais sur un autre sujet alors. Je suis partant.

Je me suis rendu compte cet aprem qu'on ne pouvait pas prendre pi comme unité, puisque 1 par exemple, ne représente rien (sauf si on se met dans une certaine unité, genre le mètre, et dès lors, pi est une unité de mesure, pas l'unité).
En plus, Pi est un rapport, pas une valeur qui existe en elle même, il me semble. Un mathématichien pourra peut-être nous confirmer tout cela.

J'ai lu que le problème essentiel est qu'on ne peut trouver la mesure d'une ligne courbe à partir de la mesure d'une ligne droite.

Pour parler trivialement, on ne mélange pas les torchons avec les serviettes.

Il faudrait donc ramener le rayon du cercle à une ligne courbe pour pouvoir la comparer avec la circonférence qui est une ligne courbe.

Certains s'y sont penchés et la circonférence ferait 3 fois exactement la somme des deux rayons courbes.

Mais comment mesurer le rayon courbe ?

Cioran a écrit:

Je me suis rendu compte cet aprem qu'on ne pouvait pas prendre pi comme unité, puisque 1 par exemple, ne représente rien (sauf si on se met dans une certaine unité, genre le mètre, et dès lors, pi est une unité de mesure, pas l'unité).

En plus, Pi est un rapport, pas une valeur qui existe en elle même, il me semble. Un mathématichien pourra peut-être nous confirmer tout cela.

Je ne sais pas. Il me semble qu'une constante peut être utilisée comme une unité. D'ailleurs que représente le terme pi sinon une unité aussi représentative que le mètre.

wikipedia a écrit:

Le mètre (symbole m, du grec metron, mesure) est l'unité de base de longueur du Système international. Il est défini comme la distance parcourue par la lumière dans le vide en 1/299 792 458 seconde.

Le mètre est aussi un rapport. Pourtant on l'utilise comme unité de mesure, et une unité, qu'elle soit de mesure ou autre, est bien égale à "1".

f u c h s i a a écrit:

J'ai lu que le problème essentiel est qu'on ne peut trouver la mesure d'une ligne courbe à partir de la mesure d'une ligne droite.

Voici la façon dont wikipedia illustre pi :



Pour le reste de ton propos, j'ai trouvé un lien ici

L'image de fond est atroce et nuit à la lecture de l'article. Je n'ai pas eu le courage de le lire jusqu'au bout.

Citation :

Ne peut-on concevoir "mathématiquement" qu'un nombre aux décimales aussi infinies que pi soit considéré comme sa propre unité? Il devient, dès lors fini et très précis, non?

Je pense cependant que même si tu choisis comme unité une valeur valant pi, dans le cas d'un cercle de diamètre 1, tu devras multiplier ce diamètre par pi pour obtenir le périmètre, et non pas par 1. Sinon, ton cercle a un périmètre égal à son diamètre, et c'est un drole d'univers géométrique qui se crée là. Si le périmètre vaut 1 soit pi, le diamètre vaut effectivement 1/pi, et donc dans le nouveau système de mesure, 1/pi Pis, ce qui ne fait pas 1, puisque, dans aucun système, on ne peut diviser un par une ulité de valeur, le terme 1/mètre n'ayant aucun sens mathématiquement.

Cioran a écrit:

Je pense cependant que même si tu choisis comme unité une valeur valant pi, dans le cas d'un cercle de diamètre 1, tu devras multiplier ce diamètre par pi pour obtenir le périmètre, et non pas par 1. Sinon, ton cercle a un périmètre égal à son diamètre, et c'est un drole d'univers géométrique qui se crée là. Si le périmètre vaut 1 soit pi, le diamètre vaut effectivement 1/pi, et donc dans le nouveau système de mesure, 1/pi Pis, ce qui ne fait pas 1, puisque, dans aucun système, on ne peut diviser un par une unité de valeur, le terme 1/mètre n'ayant aucun sens mathématiquement.

Bien vu ma grosse. Je suis mouché
Tu reçois 10.000 indulgences. Tu as intérêt à te suicider immédiatement pour en profiter et rentrer au paradis. Problème, comme j'interdis le suicide, tu perdras un bon paquet d'indulgences et tu ne rentreras pas au paradis

Je préfère donc les capitaliser pour une mort naturelle prochaine. En attendant j'ai déjà tout ce qu'il me faut, je ne suis donc pas pressé d'en avoir un peu plus.

f u c h s i a a écrit:

Merci de tes explications.

En fait la nature n'a pas vraiment de lois mathématiqes, c'est nous qui cherchont à lui en trouver avec tous nos concepts mathématiques.

Je ne sais pas.
Si ce que tu disais était tout à fait vrai, adieu l'ordinateur, adieu la technique.
Je pense qu'il peut exister une corrélation entre la façon dont nous fonctionnons et la façon dont le monde fonctionne, dans la mesure où notre cerveau appartient au monde, donc est construit "dans sa logique".

La nature ne correspond que partiellement aux modèles mathématiques, pour sûr.

Citation :

Moi je dirai que les mathématiques sont le reflet de la réalité. Des principes abstraits qui correspondent à une réalité concrète.

Au départ oui, sûrement. Au fur et à mesure de leur développement, les mathématiques se sont de plus en plus éloignées de la réalité, par exemple avec les espaces à n dimensions. Si on peut toujours trouver des applications, c'est, il me semble, parce-que ce qu'on a développé sert d'outil, mais ne représente plus un objet "réel" en soi.
Enfin oui, il doit toujours y avoir un lien avec une réalité dans tous les concepts mathématiques, peut-être.

Citation :

Ne peut-on concevoir "mathématiquement" qu'un nombre aux décimales aussi infinies que pi soit considéré comme sa propre unité? Il devient, dès lors fini et très précis, non?

En fait, je me suis trompé, le "même" est une erreur d'inattention, puisque mathématiquement, le cercle et le carré existent.
Je voulais dire qu'on prouve mathématiquement que dans la réalité, pi n'existe pas.

On ne peut pas prendre pi comme sa propre unité et dire qu'on l'a mesuré, car cela n'a pas vraiment de sens, puisque 1 est toujours l'unité (remarquer l'étymologie ), car un nombre ne se "mesure" que par rapport à un autre. Je veux dire, tu peux toujours tracer un trait et dire que ça fait pi, mais cela ne veut rien dire, puisque dans ce cas, n'importe quoi fait pi!

Citation :

mettons-le en rotation rapide autour d'un axe quelconque situé dans le carré.

Cet axe est-il parfait?

Citation :

Qu'elle est la référence de la perfection d'une réalité, sinon l'observateur?

Bin la c'est le fait que pour chaque point du cercle, la distance au centre est la même.

Citation :

La preuve, il est près de 4h du matin et je n'ai pas envie d'aller dormir

C'est gentil.

Citation :

En plus, Pi est un rapport, pas une valeur qui existe en elle même, il me semble.

Si si, pi est bien une valeur qui existe "en elle-même". ça dépend ce que tu entends par valeur.
Mais on sait que la somme des 1/k² lorsque k parcourt l'ensemble des entiers naturels non nuls tend vers pi²/6, et il y a beaucoup d'autres formules et définitions de pi.

Un rapport n'est-il pas une valeur? 1/3, par exemple.

Citation :

J'ai lu que le problème essentiel est qu'on ne peut trouver la mesure d'une ligne courbe à partir de la mesure d'une ligne droite.

C'est une manière de le dire.
pi est un nombre "transcendant", ce qui signifie qu'aucune manipulation sur lui avec des +, des - et des * ne peut donner 0 (euh, tant que c'est pas un truc bête du genre pi-pi ^^).
Il n'est racine d'aucun polynôme.

Cela montre qu'alors, il n'est pas "constructible" autrement que sur une ligne courbe, à la règle et au compas. Notamment, la quadrature du cercle est alors impossible.

Citation :

Je pense cependant que même si tu choisis comme unité une valeur valant pi, dans le cas d'un cercle de diamètre 1, tu devras multiplier ce diamètre par pi pour obtenir le périmètre, et non pas par 1. Sinon, ton cercle a un périmètre égal à son diamètre, et c'est un drole d'univers géométrique qui se crée là. Si le périmètre vaut 1 soit pi, le diamètre vaut effectivement 1/pi, et donc dans le nouveau système de mesure, 1/pi Pis, ce qui ne fait pas 1, puisque, dans aucun système, on ne peut diviser un par une ulité de valeur, le terme 1/mètre n'ayant aucun sens mathématiquement.

Je ne comprends pas bien ton argument.
En plaçant pi comme unité, la circonférence du cercle de diamètre 1 est bien pi, soit pi² dans le système "normal" (même si ça ne veut rien dire).

Si le périmètre vaut 1, le diamètre vaut bien 1/pi "Pis" ce qui fait bien 1 dans le système "normal", car ton argument du "ça n'existe pas" me paraît fallacieux, car tu mélanges valeur et unité. 1/ mètre n'a pas de sens, mais 1/k dans un système d'unité k oui, sinon ça serait comme dire que dans un système d'unité 2, 1/2 n'existe pas!

Peut-être ai-je mal compris ce que tu voulais dire, mais il me semble que Dieu va devoir reprendre ses indulgences, car tu ne peux pas montrer de contradiction dans un système d'unité pi je pense, car mathématiquement, pi est un nombre comme un autre.

Citation :

Si si, pi est bien une valeur qui existe "en elle-même". ça dépend ce que tu entends par valeur.
Mais on sait que la somme des 1/k² lorsque k parcourt l'ensemble des entiers naturels non nuls tend vers pi²/6, et il y a beaucoup d'autres formules et définitions de pi.

Un rapport n'est-il pas une valeur? 1/3, par exemple.

En fait je voulais dire que ce nombre ayant une infinité de décimales, il ne peut être écrit (ce qui ne veut pas dire qu'il n'existe pas, effectivement). Mais j'avais tort, ce n'est pas non plus un rapport puisqu'il ne s'écrit pas non plus a/b

Citation :

Si le périmètre vaut 1, le diamètre vaut bien 1/pi "Pis" ce qui fait bien 1 dans le système "normal",

Mais pas un dans le nouveau système.

Citation :

sinon ça serait comme dire que dans un système d'unité 2

Il me semblait que tu disais "1 est toujours l'unité", cela me semble contradictoire, comment peut-on avoir une unité qui vaut 2?

Désolé, je ne me suis pas relu, mais je voulais dire "on prend un système de départ, et on crée un nouveau système de façon à ce que l'unité devienne le 2 dans le premier système".
Ce que j'ai dit sur l'inefficacité de poser pi comme unité tient toujours, puisque la seule manière de faire est de poser un premier repère, et de faire pareil que ce que je viens de dire mais avec pi, mais alors on n'a pas mesuré pi, car il y a toujours ce problème de transcendance, et lorsqu'on passe par un premier repère, on se ramène au problème de départ.

Citation :

Mais pas un dans le nouveau système.

Désolé, je ne vois toujours pas l'argument.

Je récapépét ce que j'interprète dans ce que tu as dis (je pense que j'ai vraiment mal compris parce-que je ne vois pas le lien entre la première et la seconde partie ):
on prend un cercle de diamètre 1 "Pi", soit pi dans le premier repère.
Alors, son périmètre est bien pi "Pis", soit pi² dans le premier repère, car que pi soit la nouvelle unité ne change rien, 2 fois 2 fait toujours 4.

Si le périmètre vaut 1 "Pi", soit pi dans le premier repère, alors le diamètre vaut 1/pi "Pis", soit 1 dans le premier repère.

Mais il n'y a aucun lien entre le premier cas et le 2ème cas me semble-t'il, car dans le premier, on a un diamètre de 1 "Pi" soit pi, et un périmètre de pi "Pis" soit pi², et dans le 2ème on a un périmètre de 1 "Pi" soit pi, et un diamètre de 1/pi "Pis" soit 1.

Je ne crois pas qu'on puisse simplifier 1/pi Pis, 1/pi étant une valeur et Pis l'unité. Ce n'est pas 1/pi*Pis, mais 1/3.14... exprimé dans une nouvelle unité de mesure. Ici, l'unité de mesure provient du 1, et Pi n'ne possède pas.

C'est bizarre, chaque fois que Dieu ouvre sa grande gueule, cela crée des polémiques chez les hommes. Aucun d'eux n'a encore pensé à dire à Dieu de la fermer

Citation :

Je ne crois pas qu'on puisse simplifier 1/pi Pis, 1/pi étant une valeur et Pis l'unité. Ce n'est pas 1/pi*Pis, mais 1/3.14... exprimé dans une nouvelle unité de mesure. Ici, l'unité de mesure provient du 1, et Pi n'ne possède pas.

Bin oui, dans le nouveau système, 1/pi n'est pas simplifiable, c'est la valeur, point. En quoi est-ce un problème?
Par contre, dans "l'ancien système", ça fait bien 1/pi fois pi, puisque 1/pi est un nombre, autant que 1, 2, ou 3, et alors ça fait 1.

Est-ce que tu peux me réexpliquer en gros la contradiction, s'il-te-plaît?

Ben je sais plus pourquoi tu parles de contradiction, j'expliquais juste à Reventlov que si on choisit pi comme unité, pour obtenir périmètre ou diamètre, on utilise toujours 3.1415...et non pas 1.

musichien a écrit:

Citation :

Je ne crois pas qu'on puisse simplifier 1/pi Pis, 1/pi étant une valeur et Pis l'unité. Ce n'est pas 1/pi*Pis, mais 1/3.14... exprimé dans une nouvelle unité de mesure. Ici, l'unité de mesure provient du 1, et Pi n'ne possède pas.

Bin oui, dans le nouveau système, 1/pi n'est pas simplifiable, c'est la valeur, point. En quoi est-ce un problème?
Par contre, dans "l'ancien système", ça fait bien 1/pi fois pi, puisque 1/pi est un nombre, autant que 1, 2, ou 3, et alors ça fait 1.

Est-ce que tu peux me réexpliquer en gros la contradiction, s'il-te-plaît?

En fait, si pi est un nombre transcendant, l'utiliser comme unité n'inverse-t-il pas la transcendance? Je dis ça juste pour embrouiller les choses

Cioran a écrit:

Ben je sais plus pourquoi tu parles de contradiction, j'expliquais juste à Reventlov que si on choisit pi comme unité, pour obtenir périmètre ou diamètre, on utilise toujours 3.1415...et non pas 1.

Ah ok.
Je croyais que tu voulais montrer qu'il était impossible de prendre pi comme unité.
Bon bin tu as raison, alors.

Citation :

En fait, si pi est un nombre transcendant, l'utiliser comme unité n'inverse-t-il pas la transcendance? Je dis ça juste pour embrouiller les choses Very Happy

Non, car comme je l'ai dit précédemment, "mesurer" pi signifierait en prendre le rapport relativement à une unité.
Comme je l'ai expliqué précédemment, on ne peut pas dire qu'un nombre est une unité "comme ça", parce-qu'un trait, ce n'est pas un nombre en soi. L'unité, c'est quelquechose qu'on pose pour mesurer les nombres "en fonction", et c'est 1 par définition, pour des problèmes de proportionnalité vraisemblablement.
Tu peux trés bien dire qu'un trait vaut pi, mais cela n'a ni de sens ni d'intérêt, puisque n'importe quoi vaut pi.

Prendre une unité de pi signifierait que dans un repère, on crée un nouveau repère dont l'unité est pi dans l'ancien repère, mais il y a toujours le problème du rapport, et de la construction de pi à partir de l'ancien repère, et la transcendance montre qu'elle est impossible.