Nombres premiers

Il y a un problème qui me passionne depuis qu'on me l'a posé, et qui a résisté à toutes les démonstrations jusqu'ici, à ma connaissance. Il s'agit de prouver :

Tout nombre pair est la somme de deux nombres premiers

Ce qui revient à dire que tout nombre est la moyenne de deux nombres premiers. Bien sûr je n'imagine pas le résoudre un jour, mais je trouve magnifique cet ordonancement des nombres, cette régularité dans l'ensemble disparatre des nombres premiers. Donc je lance à tout hasard le topic, pour récolter des réflexions, des impressions, des pistes, des idées, des poésies, sur ce théorème merveilleux. Si ça vous inspire...

J'en ai un autre (tant qu'a montrer les bizarreries-harmonie?- en mathématique):

C'est l'histoire d'un petit bonhomme qui se met à compter les nombres naturels. 1,2,3,4,5... C'est ainsi que ce bonhomme dénombre l'infini des nombres naturels. Maintenant, c'est toujours ce même bonhomme qui se dit, tiens, je vais compter les nombres rationnels. 0.111111..., 0.15478...,0.98558...,0.4564...,0.4541.... Le petit bonhomme tout fier pense avoir dénombrer les nombres rationnels, comme il l'a fait avec les nombres naturels. Mais voilà, un autre petit bonhomme vient pointer son nez et dit:
-Ah non! il te manque un nombre:
0.11111111....
0.15478......
0.98558.....
0.4564....
0.4541....
....

Si tu remplaces les chiffres: 1 par 2, 2 par 3, 3 par 4,... et 9 par 0, du nombre diagonal sélectionné en gras, le nouveau nombre qui apparait n'est pas dans ton dénombrement...

En effet, remplaçons au lieu de 1554... on a 2665..., donc 0.2665...., nombre qui n'est pas compris, en effet, à la ligne où il y a ce nombre, le chiffre gras de ce nombre, disons c, a le paradoxe de valoir ceci: c=c+1....


Ahahahahahahah... Quant aux nombres premiers et pairs, on sait maintenant que certaine évidence ne peuvent pas être démontrée. Je suis moi-même incroyablement bluffé par 'cet ordonancement des nombres'. J'ai aucune piste mais une impression poétique:

Les nombres premiers et les nombres pairs
font la paire.
(désolé...)

Amicalement,
Prométhée.

Citation :

Il y a un problème qui me passionne depuis qu'on me l'a posé, et qui a résisté à toutes les démonstrations jusqu'ici, à ma connaissance. Il s'agit de prouver :

Tout nombre pair est la somme de deux nombres premiers

Oui, c'est la conjecture de Goldbach, énoncée par ce dernier dans une lettre à son ami Euler.
Par contre, on a réussi à démontrer une partie de la conjecture complète, à savoir que tout nombre impair est la somme de 3 nombres premiers.

Citation :

Bien sûr je n'imagine pas le résoudre un jour

Effectivement, c'est une des grandes conjectures avec celle du grand théorème de Fermat, celle de Poincaré, celle de Riemann...
Donc impossible à résoudre à moins d'avoir des connaissances trés poussées, ou alors d'être un véritable génie.

Citation :

Maintenant, c'est toujours ce même bonhomme qui se dit, tiens, je vais compter les nombres rationnels. 0.111111..., 0.15478...,0.98558...,0.4564...,0.4541.... Le petit bonhomme tout fier pense avoir dénombrer les nombres rationnels, comme il l'a fait avec les nombres naturels.

A priori, rien ne permet de dire si tes nombres sont rationnels ou pas, puisqu'un nombre rationnel a une écriture décimale périodique (les chiffres se répétent).

Citation :

Si tu remplaces les chiffres: 1 par 2, 2 par 3, 3 par 4,... et 9 par 0, du nombre diagonal sélectionné en gras, le nouveau nombre qui apparait n'est pas dans ton dénombrement...

Ce type d'argument est dit "de la diagonale de Cantor".
Seulement, dans cette version il est faux, car le nombre ainsi construit n'est pas rationnel.

Tu ne pourras pas démontrer que l'ensemble des rationnels est indénombrable pour la simple et bonne raison qu'on a démontré le contraire.

Par contre, il doit être juste si tu parles des réels.

Oups... J'ai du mal comprendre une étape... (je suis élève de philo avant tout, la physique, c'est pour l'année prochaine.)



Ah! Bienvenue...

Prométhée il ne s'agit pas des rationnels mais des réels !

les naturels, relatifs et naturels ont "le même infini";
tandis que les réels ont une infinité d'infinis du même ordre que les naturels...

Prenons l'ensemble N* :
1,2,3,4,5,6,...
l'ensemble N a un infini de même ordre, car on peut associer chaque membre de N à un membre de N*:
0-1;1-2;2-3,....

Pour les relatifs c'est pareil,
pour les rationnels c'est un peu plus compliqué mais c'est pareil aussi:

un nombre rationnel est de la forme N/P avec n et p premiers entre eux.

En revanche pour les réels, on peut effectivement toujours trouver un "membre" suplémentaire ...

Oui, par contre on peut montrer que si R (les réels) est plus "grand" que Q ( les rationnels), alors R est "juste un peu plus grand" : si Q est une brioche, R est une brioche fourrée d'irrationnels.

On dit que Q est dense dans R:
en effet, pour tout réel, il existe des suites de rationnels convergeant vers ce réel, par le haut et par le bas, autrement dit: soit x un réel. Alors je peux me rapprocher de x autant que je veux par des nombres rationnels, plus grands ou plus petits que x.
x est "pris en sandwich" par des rationnels.

Doucement... Lol.
Je ne vois pas sinon, pour finir, où est la faute dans ma diagonale... (je trouvais ça logique).

Egill, tu compares des ensembles, c'est une 'bijection' il me semble. Mais je ne compare pas deux ensembles entre-eux dans mon exposé.

Je parlais du dénombrement des rationnels, à partir d'une expérience de pensée. C'est bien la diagonale de Cantor qui montre qu'on ne peut dénombrer les rationnels.

Le problème est que le nombre que tu crées n'est pas rationnel, a priori, donc tu ne peux dire qu'il n'a pas été compté dans les rationnels, puisque ce n'en est pas un.

En effet, tout rationnel a une écriture décimale périodique, c'est-à-dire du genre 1,635 635 635 635... , or le rationnel que tu crées n'a vraisemblablement aucune périodicité dans ses décimales.

Effectivement, un infini est dit "dénombrable" lorsqu'on peut le mettre en bijection avec N, c'est-à-dire associer à chaque élément de l'ensemble infini considéré un unique entier naturel, et réciproquement.
Lorsque tu dis que tu dénombres, tu mets en bijection avec N, puisque dire que untel est le premier, untel le second, etc. est équivalent à associer 1 à untel, 2 à untel, etc.

Une façon de compter les relatifs: le 0ème est 0, le 1er est 1, le second est -1, le 3ème est 2, le 4ème est -2, le 5ème est 3, le 6ème est -3... le nième est -n/2 si n est pair, sinon c'est le plus petit entier supérieur à n/2.

Une façon de compter les rationnels: le 0ème est 0/1 , le premier 1/1, le second 2/1, le troisième 1/2, le 4ème 3/1, le 5ème 2/2, le 6ème 1/3, le 7ème...
en considérant en fait toutes les fractions p/q possibles tel que p+q= x.