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 Problèmes mathématiques scolaires

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allias
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MessageSujet: Problèmes mathématiques scolaires   Mer 11 Avr - 12:11

Bonjour.

Je suis en première S et j'ai un problème sur les barycentres que je n'arrive pas à résoudre. Je propose que dans cette section, tous les problèmes liées au maths où l'on rencontre des difficultés.
Citation :

Voici l'énoncé:
- ABC est un triangle, A' est le barycentre de (B,1), (C,1), B' le barycentre de (C,1), (A,-2) et C' le barycentre de (A,-2), (B,1).
Démontrer que les droites (AA'), (BB') et (CC') sont parallèles.

Citation :
Un autre pour les limites d'une suite: U(n+1)= Un+ 1/(n+1)
Vrai ou faux: Un a pour limite +infini

Je suis un ami de Silene.
Allias.

PS: une section mathématqiues serait la bienvenue Very Happy
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musichien
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MessageSujet: Re: Problèmes mathématiques scolaires   Mer 11 Avr - 13:22

Pour ton premier exercice, la relation de Chasles marche:
j'écris en vecteurs:
on a BA'+CA'=0 d'où BA+AA'+CA+AA'=0 d'où 2A'A=BA+CA. (1)
De plus, CB'-2AB'=CB'+2B'A=0 soit CA+B'A=0 soit AB'=CA donc en remplaçant dans la relation (1), on obtient 2A'A=BA+AB'=BB' ce qui montre que (AA') et (BB') sont parallèles.

Remarque que B et C sont totallement symétriques, c'est-à-dire que je peux imaginer un triangle où B et C sont inversés, et alors on obtient substantiellement exactement les mêmes propriétés, cela signifie donc que (AA') et (CC') sont aussi parallèles.

En effet, il suffit de faire ce que je viens de dire, en intervertissant B et C, et alors on retrouve le premier résultat. Il ne reste plus qu'à "re-intervertir" les lettres.

On a donc bien (AA'), (BB') et (CC') qui sont parallèles.

Le second problème est bien plus subtil, et cela m'étonne que tu aies à le résoudre...

Il est évident que u_n= la somme des n premiers inverses d'entiers (1/n + 1/(n-1) + ... +1/1) (en supposant que le premier terme est 1/1=1).

Pour n tendant vers l'infini, on appelle cela la série harmonique.
Elle diverge vers +oo.
Déjà, il est clair qu'elle est strictement croissante, donc soit elle est majorée et alors elle converge, soit elle n'est pas majorée et alors elle diverge vers +oo.

Supposons par l'absurde qu'elle converge vers un réel l.
Alors, la suite v_n définie par v_n=u_2n converge aussi vers l, d'où v_n-u_n converge vers 0.

Or v_n-u_n = la somme des inverses de 1/(n+1) à 1/2n, car les termes "avant" se suppriment. Chacun des inverses ayant un dénominateur inférieur à 2n, les inverses sont tous supérieurs à 1/2n, donc leur somme est supérieure à 1/2n + 1/2n +... +1/2n et cela n fois, d'où v_n-u_n est supérieur à n fois 1/2n = 1/2, et v_n-u_n ne converge pas vers 0, ce qui est absurde.
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Cioran
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MessageSujet: Re: Problèmes mathématiques scolaires   Mer 11 Avr - 14:14

Y'a pas plus simple pour la deuxième? Il me semble me rappeler que c'est moins compliqué
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musichien
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MessageSujet: Re: Problèmes mathématiques scolaires   Jeu 12 Avr - 7:42

Ce n'est pas trés compliqué, mais si tu trouves plus simple... Wink

Je ne sais pas si c'est tellement simple, normallement on ne voit cette suite qu'en MPSI.
Enfin, on la voit plus en profondeur...
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Cioran
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MessageSujet: Re: Problèmes mathématiques scolaires   Jeu 12 Avr - 14:51

Justement, il me semblait avoir résolu ça en terminale, mais jamais je n'ai utilisé ce truc, de mémoire.
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MessageSujet: Re: Problèmes mathématiques scolaires   Ven 13 Avr - 16:08

Il y a plus court, mais en s'appuyant à mon sens sur un théorème plus fort (au sens des hypothèses) que celui utilisé dans la méthode standard (convergence de la suite extraite vers la même limite). Ce qui rend la méthode standard plus élégante. Néanmoins ma méthode donne un équivalent de H(n) (série harmonique) en l'infini et montre l'existence de la constante d'Euler "gamma"

Je désignerai "plus l'infini" par "+ inf"
"Intégrale de f de a à b" par "int(f,a --> b)"

Théorème (démo néanmoins facile)

Soit f : [0,+inf[ --> R continue par morceaux, positive, décroissante.
Soit, pour tout n de N*, W(n) = int(f,n-1 --> n) - f(n)

Alors Somme de k=1 à n de W(k) converge (il y a d'autres conséquences, mais qui ne sont pas nécessaires pour ce qui nous intéresse)

Application

f(x) = 1/x remplit bien les conditions du théorème
W(n) = int(1/t,n-1 --> n) - 1/n = ln(n) - ln(n-1) - 1/n
Somme sur k=2 à n de W(k) = ln(n) - 0 - H(n) + 1 = 1 + ln(n) - H(n)

Donc par théorème, il existe m telle que : 1 + ln(n) - H(n) --> m pour n --> +inf

Soit "gamma" = 1-m

On a H(n) ~ ln (n) + "gamma" + o(1) pour n --> +inf

Pour info, "gamma" ~ 0,577... et on ne sait toujours pas si ce nombre est rationnel
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MessageSujet: Re: Problèmes mathématiques scolaires   Sam 14 Avr - 3:32

Je ne sais pas si c'est plus court, mais c'est joli aussi. Wink

Au fait, d'où vient le +1 ?

Après, le seul problème, c'est que allias est en 1ère S, donc il n'est pas censé connaître ni ln, ni le théorème que tu as cité.

Very Happy
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MessageSujet: Re: Problèmes mathématiques scolaires   Sam 14 Avr - 5:08

Je somme (W) à partir de k=2 du fait de la présence du ln(k-1).
Or, somme des 1/k de 2 à n ne fait pas exactement H(n). En effet, H(n) est la somme des 1/k de 1 à n. On a donc : H(n) = 1/1 + somme des 1/k de 2 à n. Ce qui explique la présence du 1.

Pour l'école c'est bien ça (ça aurait pu être St Cyr, mais comme tu as pu voir je ne suis pas très tendre envers l'Armée...)
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MessageSujet: Re: Problèmes mathématiques scolaires   Sam 14 Avr - 7:42

Ah oui pardon, j'avais oublié le premier terme de H. Embarassed
Je me disais bien que c'était en rapport avec le k=2, mais en téléscopant la somme, je ne voyais pas où apparaissait le +1...

Nous sommes honorés de ta présence, cher Xien. farao Wink

Est-ce vrai que les mathématiques qu'on fait à l'X sont devenues de l'épicerie? (selon un ami qui y est...)
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MessageSujet: Re: Problèmes mathématiques scolaires   Sam 14 Avr - 7:55

Je ne peux pas te dire puisqu'il me reste encore une putain de semaine militaire... (j'ai intégré cette année)

Après il y en a toujours qui trouvent ça facile... C'est comme en prépa, certains te diront en souriant que c'était du gâteau. Objectivement il y a quand même des concepts difficiles à appréhender ! Si tu veux le must au niveau de la difficulté, il faut à Ulm. Mais bon...

De toute façon je préfère la physique !

Mais je crois qu'on s'éloigne du sujet... Alors je vais donner un exercice sympa (oral X tiens... Mais tu m'as l'air très doué pour ton âge) qui n'est pas sans rapport avec H(n)...

Considère des dominos de longueur a.
Est-il possible d'empiler ces dominos "à l'infini" ? Si tu ne comprends pas ce que je veux dire, je l'exprimerai de manière plus formelle.

Il y a une notion de physique qui rentre en jeu évidemment : je t'aide un peu, mais il faut traduire mathématiquement la condition d'équilibre.

La grosse difficulté est dans la manière de "voir l'empilement" (je suis vague mais bon...)


infini <-- =
=
=
=
=
=
= premier domino
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MessageSujet: Re: Problèmes mathématiques scolaires   Sam 14 Avr - 7:56

Ma mise en page n'a pas marché. Désolé maintenant c'est tout pas beau !
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MessageSujet: Re: Problèmes mathématiques scolaires   Sam 14 Avr - 8:15

Citation :
Après il y en a toujours qui trouvent ça facile...
Non mais en fait, il disait qu'on faisait plus du tout de vraies maths, mais seulement des maths appliquées à l'économie, par exemple.
Pas que je dédaigne ça, c'est juste que ce n'est pas des "vraies" maths. Wink


Effectivement, je ne vois pas trés bien ce que tu veux dire...
Embarassed

Ne peut-on pas les poser les uns sur les autres exactement de façon à former une "tour" verticale qui ne penche pas?
Alors, puisque leurs centres de gravité seront alignés avec le centre de la Terre, ils ne devraient pas tomber, si?
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MessageSujet: Re: Problèmes mathématiques scolaires   Sam 14 Avr - 8:33

Pour l'application des maths à l'économie, je pense que ça dépend des modules de cours que tu suis. Effectivement pour ceux qui veulent faire des finances, il est possible de ne plus faire de maths "pures". j'ai mon livret d'enseignement devant moi : on peut par exemple faire une majeure (en 3ème année) en maths appliquées, mais aussi en maths (au menu des possibles : systèmes dynamiques, algèbre arithmétique codes, groupes et symétries, analyse non-linéaire)

En fait je voulais dire à l'infini "sur le côté". Si tu veux il faut décaler chaque domino l'un par rapport à l'autre pour que la pile soit penchée, sans s'écrouler.
Imagine la droite des réels. Tu poses l'extrémité gauche du domino en contact avec le sol en x=0. Soit A fixé quelconque dans R+, est-il possible qu'un domino de la pile soit à l'aplomb de A ?
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MessageSujet: Re: Problèmes mathématiques scolaires   Sam 14 Avr - 9:10

Supposons qu'on pose les dominos les uns sur les autres.
On peut assimiler les dominos à des segments, non?
L'équilibre n'est-il pas atteint si et seulement si le barycentre de tous les dominos est sur [0;a]?

Mais le barycentre de tous les dominos n'est-il pas l'isobarycentre de leur milieux?

Disons qu'il y a n milieux de barycentres qui sont dans [0;a].
Il y a une infinité de milieux qui sont supérieurs à 2a.
Du coup, en disant qu'il y en a k, k tendant vers +oo, le barycentre est "au-moins" égal à 2ka/(n+k), supérieur à a si et seulement si
2k/(n+k) supérieur à 1 si et seulement si k supérieur à n, ce qui est vrai.

Du coup c'est pas possible.

Mais à mon avis, ce que j'ai dit est faux, parce-que sinon ça serait trop simple, et la série harmonique n'intervient pas... scratch
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MessageSujet: Re: Problèmes mathématiques scolaires   Sam 14 Avr - 10:32

S'il y a de la série harmonique, il faut penser à sa divergence... Vers l'infini... En fait tu fais une erreur de logique dans la manipulation de l'infini, mais sinon c'est très très bien vu ! Tu touchais au but !

Ton erreur : tu fixes n le nombre de milieux dans [0,a]. Et tu fais tendre k vers l'infini indépendamment de n (ce qui est bien sûr légitime dans ton travail puisque tu as fixé n). Du coup, forcément, tu obtiens k supérieur à n dans l'inégalité finale pour k assez grand.

C'est comme si tu disais : les n premiers dominos sont disposés comme ça, voyons voir s'il y a un moyen quelconque de terminer l'édifice.
Alors qu'il faut te dire : je cherche une condition globale d'équilibre, et après je trouverais une manière particulière de les disposer pour que ça marche.

De manière générale, il faut procéder comme ça avec les infinis. Mais c'est quelque chose qui n'est pas facile à appréhender !

Mais tu m'épates quand même ! Shocked
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musichien
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MessageSujet: Re: Problèmes mathématiques scolaires   Sam 14 Avr - 14:07

Euh, j'ai un truc mais je pense que c'est faux.
Je le mets quand même:
le premier milieu est a/2, par définition.
Ensuite, on associe ensemble les 2 milieux suivants. Leur barycentre est supérieur à a/2. Puis, les 3 milieux d'après, etc.

La coordonnée de l'isobarycentre du tout est la somme des coordonnées de barycentres obtenus, pondérés par 1, 2, 3, etc. , le tout divisé par "l'infini".

Du coup, ça donne que cette coordonnée est supérieure à a/2 (1+2+3+...)/oo, ce qui doit donner a/2 fois la série harmonique, donc la coordonnée est infinie.

Le coup du (1+2+3+...)/oo me semble pas tout à fait rigoureux... Rolling Eyes
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MessageSujet: Re: Problèmes mathématiques scolaires   Sam 14 Avr - 16:54

Non pas très rigoureux...
Reste sur ton idée que le barycentre des milieux de dominos doit être inférieur à a/2.

Je t'aide un peu : déjà tu renumérotes les dominos : le second devient d(1), le troisième d(2), ..., le numéro k devient d(k-1).

Pour k dominos, le barycentre des (k-1) dominos "du dessus" est alors :

[ x de d(1) + x de d(2) + ... + x de d(k-1) ] / (k-1) (où x désigne l'abcisse)

Appelons m(k) = x de d(k) pour k dans N

il faut alors [ m(1) + m(2) + ... + m(k-1) ] / (k-1) inférieur à a/2

Je te laisse chercher la fin

A+
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musichien
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MessageSujet: Re: Problèmes mathématiques scolaires   Dim 15 Avr - 1:51

Tu veux pas plutôt dire inférieur à a? Puisque ce qui compte, c'est que le barycentre des dominos "au-dessus" soit toujours au-dessus du premier domino, donc inférieur à a, non?

Bin, la somme des abscisses doit être inférieure à ka, et donc dans un souci de symétrie, on peut supposer que chaque abscisse devrait être inférieure à a/k... Neutral

En fait, je crois que mon argument précédent marche quand même:

supposons qu'il y ait n milieux entre 0 et 2a (pour être plus rigoureux).
Alors prenons les n+1 premiers milieux supérieurs à 2a.
Leur barycentre "partiel" est donc supérieur ou égal à 2a(n+1)/(2n+1), supérieur à a si et seulement si 2(n+1) supérieur à 2n+1, ce qui est vrai.

Du coup, on a le barycentre partiel des plus petits milieux qui est supérieur à a.
Si on admet que le barycentre de points alignés, affectés de coefficient positifs, est sur le segment définie par les points extrêmes, alors c'est bon, puisque l'isobarycentre du tout est égal au barycentre du barycentre partiel des 2n+1 premiers milieux, affecté du coefficient 2n+1, et des autres milieux affectés du coeff 1, or tous ces points sont supérieurs à a, l'isobarycentre du tout est donc supérieur à a, ce qui conclut.

C'est faux? No
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MessageSujet: Re: Problèmes mathématiques scolaires   Dim 15 Avr - 3:03

Oui excuse c'est inférieur à "a"...
Autre petite erreur de ma part, tout ce qui concerne la renumérotation n'est pas nécessaire. Considère simplement m(1) le milieu du domino de base, m(k) celui du numéro k

m(1) + ... + m(k) inférieur à k.a
Voilà ta condition générale d'équilibre pour k dominos

Maintenant, comme je te disais, il faut particulariser ton empilement afin d'en trouver au moins qui "diverge". Attention, tous les empilements ne divergent pas !

Réfléchis à ce que tu dis : pour tout k, je choisis m(k) inférieur à a/k...
Cela veut dire que les derniers dominos ont leur milieu qui tend vers... 0 ! Ton empilement ne divergera pas par construction !

Procède pas analyse : pour que ça marche, il faut forcément que m(k+1) supérieur à m(k) pour que la pile soit "déportée à droite". Ce qu'il te faut c'est de choisir (c'est la que tu particularises ton empilement) quelle sera la différence entre m(k+1) et m(k)...

Allez un petit effort...

Je n'ai pas lu ta solution (manque de temps) mais je le ferai prochainement.

Protée
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MessageSujet: Re: Problèmes mathématiques scolaires   Dim 15 Avr - 3:18

Oui oui, je voulais dire que pour k dominos, on choisissait a/k, et on faisait tendre k vers l'infini, mais... No Very Happy

Ne peut-on pas dire qu'il existe une différence minimum, car l'ensemble des différences constitue un infini dénombrable?
Plus précisemment, puisque pour tout réel il existe un domino au-dessus, il existe un nombre fini de différence précédant ce domino, et qui a donc un minimum.

Si on appelle x la différence minimale, alors on peut minorer l'isobarycentre, et ça doit marcher.

Mais apparemment, ce n'est pas ce que tu demandes.
Choisis-t'on 1/k comme différence, pour k le numéro du domino?
Alors c'est la limite de H(k)+ka/2 le tout sur k, or H(k) est équivalent à ln k, et ln k /k tend vers 0, donc finalement, la limite tend vers a/2 et ça marche?

scratch

(dsl j'aime pas trop l'analyse)
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MessageSujet: Re: Problèmes mathématiques scolaires   Dim 15 Avr - 6:52

Waou je pige vraiment rien à ce que vous dites affraid

Je n'arrive même pas à avoir de bonnes notes en 1ère S en maths, alors... Mais tant mieux, comme il semblerait qu'on a quelques pros ici, ils vont avoir la joie de bien me résoudre un exo d'un petit devoir à faire:

Citation :
Dans un repère orthnormal, déterminer une équation du cercle C de centre L(3;3) et tangent à la droite d d'équation x+y-4=0

Je sais je suis nul Embarassed
Merci.
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MessageSujet: Re: Problèmes mathématiques scolaires   Dim 15 Avr - 7:43

Que signifie tangent?
ça veut dire que la droite est perpendiculaire à celle qui relie le centre du cercle et le point d'intersection.
Seulement c'est peut-être un peu compliqué.

Tangent signifie aussi qu'il y a exactement un seul point d'intersection.

Qu'est-ce qu'un point d'intersection? C'est un point qui est dans les 2 ensembles considérés (ici une droite et un cercle), ce qui est équivalent au fait qu'il vérifie les 2 équations des 2 ensembles, c'est-à-dire en l'occurence
(x-3)²+(y-3)²=R² et x+y-4=0.

Le but est donc de déterminer R tel qu'on ait simultanément ces 2 équations, pour un seul couple (x;y).

x+y-4=0 si et seulement si x=4-y d'où R²=(1-y)²+(y-3)²=(y-1)²+(y-3)².

Cette dernière équation est équivalente à :
2y²-8y+10-R²=0, soit y²-4y+5-R²/2=0, soit encore (y-2)²+1-R²/2=0.

Or, on a dit qu'il devait y avoir exactement un point solution, donc l'équation précédente doit avoir exactement une solution, ce qui est équivalent au fait que R²/2=1, soit R²=2.

L'équation du cercle est donc (x-3)²+(y-3)²=2, et on peut même dire que le point d'intersection a pour coordonnées (2;2).
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MessageSujet: Re: Problèmes mathématiques scolaires   Dim 15 Avr - 8:15

Un conseil Silene: fais une figure. Ensuite, il s'agit d'un problème de base: si tu n'arrives vraiment pas à le résoudre, relis ton cours. Musichien a proposé un moyen pour résoudre ce problème. Je vais en proposer un autre, qui me semble plus rigoureux.

Il s'agit de déterminer le point de tangence A entre le cercle C et la droite d. La droite d est perpendiculaire au rayon [LA].

L'équation de d est x+y-4=0 (1), donc un vecteur directeur de d a pour coordonées (-1;1).

Or d _|_ (LA). Donc (LA) a pour équation: -x+y+c=0 (2). Or (LA) passe par L(3;3), d'où c=0. Soit -x+y=0

D'où le système formé par les équations (1) et (2). La résolution du système donne x=y=2. Le point A a donc pour coordonnées (2;2).

Le cercle C a pour rayon LA²=2. Une équation de C est donc: (x-3)²+(y-3)²=2.
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MessageSujet: Re: Problèmes mathématiques scolaires   Lun 16 Avr - 8:18

Bon, je vais donner la solution des dominos...

Au début je t'avais dit que l'astuce résidait dans la manière de voir l'empilement. Je t'ai un peu induit en erreur en numérotant d(1) le numéro de base... Mais numéroter comme je vais te le montrer aurait été te donner beaucoup...

Toujours est-il que c'est une astuce que personne ne trouve (sauf peut-être le major de Normale Sup)

Mais cet exercice est très intéressant, et c'est une bonne chose que de le connaître car il manie les infinis, expose clairement que prendre le problème "à l'envers" peut dénouer les situations. Rappelle-t-en !


Tu considères n dominos. Avec les infinis, très souvent il faut fixer n et le faire tendre à la toute fin

Astuce : le domino du haut est d(1), ..., celui de base est d(n)

donc tu as (là j'ai supposé qu'on connaît déjà l'écart qui est harmonique, mais normalement ça se trouve dans le calcul)

m(n) = a/2
m(n-1) = m(n) + (1/n).(a/2)
...
pour k dans [1,n], m(k) = m(k-1) + 1/k
...
m(1) = m(2) + 1.(a/2)

condition d'équilibre : m(1) + ... + m(n-1) inférieur à (n-1).a

On va exprimer m(k) en fonction de m(n) et de H(n)

Un petit calcul donne : m(k) = m(n) + (a/2)[H(n) - H(k)]

Il faut alors :

(n-1).m(n) + (a/2).[(n-1).H(n) - H(1) - ... - H(n-1)] inférieur à (n-1).a

Comme d(n) est à la base, m(n) = a/2

donc il faut :

n - 1 + (n-1).H(n) - H(1) - ... - H(n-1) inférieur à 2(n-1)

Ce qui se prouve facilement par récurrence

Voilou !!!

Bon j'avoue que ce n'est pas la solution la plus simple, car l'an dernier quand on l'a corrigé je ne crois qu'il y avait cette récurrence finale

J'ai trouvé ça : http://www.univ-rouen.fr/LMRS/Vulgarisation/Touilleux/surplomb_sol.html qui explique bien le truc
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musichien
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MessageSujet: Re: Problèmes mathématiques scolaires   Lun 16 Avr - 11:39

Ah oué, pas bête. Very Happy
Mais effectivement, c'est plus naturel d'empiler avec un écart croissant que décroissant.
(au fait, dans ce que j'ai mis, il aurait fallu multiplier de toutes façons par a/2, puisque 1/n, ça ne veut rien dire sans unité)
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Problèmes mathématiques scolaires
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