rubrique mathématique

Bonjour!

Etant féru de mathématiques, je souhaiterais faire partager ma passion.

Voilà ce que je vous propose: nous pourrions poster dans ce topic:
1) Des problèmes intéressants, si possible demandant peu de connaissances
2) Des notions amusantes, importantes, efficaces
3) Des interrogations
4) Tout autre chose en rapport avec les mathématiques

Bien entendu, tout le monde participe!

Est-ce une bonne idée, d'après vous?

Je poste un premier problème, ne demandant aucune connaissance sinon celle de la langue française:
soit n singes, n échelles, et n bananes situées aux sommets des n échelles.
On dispose des cordes n'importe comment de barreau d'échelle à barreau d'une autre échelle (quoique cela n'a pas forcément d'importance) mais un barreau ne peut supporter qu'une seule corde.

Chaque singe, situé au bas d'une échelle (différente pour chacun), commence à grimper.
Dès qu'un singe rencontre une corde, il doit l'emprunter. De plus, un singe ne peut que monter une échelle, jamais la descendre (il "perd de l'altitude" si et seulement si il a emprunté une corde qui descend).

Arrivé en haut d'une échelle, le singe mange la banane et s'arrête.

Montrer que chaque singe aura sa banane.

Bon courage!

Une année que je n'en fais plus, j'ai besoin de revoir le bout de son nez.

Qui a osé répondre non?

Je propose qu'on demande autant d'indices qu'on veut tant qu'on a un peu cherché, indices délivrés peut-être par MP.

Personnellement, l'arithmétique est mon sujet préféré pour le moment.
ça vous dit une petite présentation de Z/nZ ?

Y manque pas une partie du problème? Y'a combien de barreaux? Pourquoi pas mettre une corde par echelle? Les cordes sont tendues entre n'importe quelle échelle? ärce que sinon je vois pas la difficulté.

Sinon pour la rubrique math, ben ptet que poster dans sciences exactyes suffira

Citation :

Y manque pas une partie du problème? Y'a combien de barreaux? Pourquoi pas mettre une corde par echelle? Les cordes sont tendues entre n'importe quelle échelle? ärce que sinon je vois pas la difficulté.

Non non, je crois que tout le problème y est. Les barreaux sont en nombre fini, c'est tout ce qu'on sait. Pour le nombre de cordes par échelle, on n'en sait rien, on a une disposition au hasard, le but étant de montrer que chaque singe aura sa banane dans n'importe quelle disposition.
Les cordes sont bien tendues entre n'importe quelles échelles.
Je n'ai pas dit que c'était difficile. (mais il y a un minimum de rigueur à avoir)

Citation :

Sinon pour la rubrique math, ben ptet que poster dans sciences exactyes suffira

Ouais c'est vrai, mais je pensais que pour poster un exercice instructif, beau ou tout simplement intéressant, ça serait peut-être encombrant de créer un topic à chaque fois.

Oui je suis d'accord avec Cioran, la section science exacte suffit.

musichien a écrit:

soit n singes, n échelles, et n bananes situées aux sommets des n échelles.

Petite question :

"n" signifie n'importe quel nombre

- y a-t-il autant de singes, que d'échelles, que de bananes, ou ces nombres peuvent-ils être différent.

Si ces nombres peuvent être différent, ça tombe à l'eau puisque l'on peut dire qu'il y a une seule banane et 3 singes.

Je suppose donc qu'il y a autant de singes, que d'échelles, que de bananes. Voici un petit dessin pour illustrer cela :

n signifie en réalité un nombre quelconque "fixé".
Cela signifie que soit un nombre, on fait ça, ça et ça, et le résultat final est vrai pour n'importe quel nombre de départ, donc on met n parce-qu'on ne veut pas se limiter à seulement quelques cas.

Donc quand on dit "n trucs, n bidules et n machins", les trucs, les bidules et les machins sont en même quantité.
Sinon ça serait le bordel! ça voudrait dire que dans une équation comme x²+2x+3=0, le x du x² et le x du 2x ne veulent pas dire la même chose.

Pour signifier que les nombres peuvent être différents, on change tout simplement de variable.
Par exemple on aurait dit "n trucs, m bidules et k machins".

Effectivement, ton dessin marche mais il faut le montrer dans tous les cas, quand les cordes sont en bordel.

Un indice:
Il faut montrer:
1) Que chaque singe arrivera en-haut d'une échelle
2) Que 2 singes n'arriveront pas au sommet de la même échelle

Pour le 1), il faut dire en quoi c'est équivalent à ce qu'aucun singe ne "tourne en rond", et pourquoi aucun singe ne peut "tourner en rond".
Pour le 2), il faut essayer de voir comment ça serait possible, et pourquoi ça l'est pas, par exemple en analysant la situation en remontant le temps...

musichien a écrit:

Un indice:
Il faut montrer:
1) Que chaque singe arrivera en-haut d'une échelle
2) Que 2 singes n'arriveront pas au sommet de la même échelle

Pour le 1), il faut dire en quoi c'est équivalent à ce qu'aucun singe ne "tourne en rond", et pourquoi aucun singe ne peut "tourner en rond".
Pour le 2), il faut essayer de voir comment ça serait possible, et pourquoi ça l'est pas, par exemple en analysant la situation en remontant le temps...

Le problème a été étudié pour amener à un résultat bien précis. Ce sont les règles qui conditionnent le résultat. De la même manière que la naissance et les conditions de l'existence ne peut amener un homme qu'à vivre sa propre mort et non celle d'un autre.

N'étant pas mathématicien, pour l'instant, je ne peux déduire que les choses suivantes :

- l'échelle n'a qu'un sens (pour tous).
- la corde n'a qu'un sens (par individu).
- un barreau ne pouvant être le support que d'une seule corde, il n'y a pas de choix possible.
- l'individu ne peut que progresser.
- l'individu ne pouvant parcourir deux fois le même chemin, donc il ne peut "tourner en rond".

Comme j'ai pu le constater par l'expérience, le point de départ détermine l'arrivée, mais je ne peux pas dire pourquoi cette arrivée est différente pour chacun.

Je subodore que le point important est la corde, car si il n'y avait pas de corde chaque singe arriverait forcément en haut de son échelle.

La corde provoque une scission entre l'échelle inférieure et l'échelle supérieure. Dans ce sens, l'échelle n'est pas "une", une fois pour toute, mais se construit pour chaque singe, et c'est la raison pour laquelle l'arrivée ne peut qu'être différencié.

Cependant, je ne parviens pas à affirmer que le système ne puisse être infaillible, même si cela semble effectivement le cas. Il faudrait examiner le problème de manière algorithmique et la définition du nombre "n" ne le permet pas.

Et quoi? Je suis le seul à jouer?

Ce que tu dis est intéressant, mais cela manque un peu de rigueur.
Je trouve que ce qui fait le charme de ce problème, c'est à la fois l'intuitition qu'on en a, et la démonstration rigoureuse à laquelle on arrive.

Exemple: Supposons par l'absurde qu'un singe n'arrive pas en haut d'une échelle.

Cela signifie qu'il parcourt le trajet en un temps infini.
Or, il y a un nombre fini d'emplacements possibles (nombre fini de barreaux et de cordes). Cela signifie donc qu'il reviendra à un moment 2 fois au même endroit, dans le même sens (si il y a k emplacements, au bout de 2k+1 déplacements on est sûr qu'il sera revenu 2 fois au même endroit dans le même sens, car chaque emplacement peut être parcouru dans 2 sens, ce qui fait 2k emplacements "orientés").

S'il revient au même endroit dans le même sens, il est clair qu'il reparcourera le même trajet, et ce un nombre infini de fois.
Ne pas arriver en haut d'une échelle signifie donc être pris dans un cycle.

Il faut maintenant montrer que, s'il existe des cycles, aucun singe ne peut entrer dans un tel cycle (pour cela, il suffit d'observer comment il serait possible de revenir au même endroit, et comment on devrait entrer dans le cycle, et montrer qu'alors, on ne peut pas rentrer dans le cycle).

musichien a écrit:

Ce que tu dis est intéressant, mais cela manque un peu de rigueur.

Admettons

musichien a écrit:

Je trouve que ce qui fait le charme de ce problème, c'est à la fois l'intuitition qu'on en a, et la démonstration rigoureuse à laquelle on arrive.

Quand on a vécu l'expérience. Avant, il faut découvrir le conditionnement de l'univers dans lequel on évolue.

musichien a écrit:

Exemple: Supposons par l'absurde qu'un singe n'arrive pas en haut d'une échelle.

Cela signifie qu'il parcourt le trajet en un temps infini.

Le temps ne faisait pas partie de l'énoncé du problème. On suppose juste que le parcours est possible ou impossible, pas qu'il prenne un temps infini. Tu ne vas pas nous sortir un paradoxe temporel, tout de même?

musichien a écrit:

Or, il y a un nombre fini d'emplacements possibles (nombre fini de barreaux et de cordes). Cela signifie donc qu'il reviendra à un moment 2 fois au même endroit, dans le même sens (si il y a k emplacements, au bout de 2k+1 déplacements on est sûr qu'il sera revenu 2 fois au même endroit dans le même sens, car chaque emplacement peut être parcouru dans 2 sens, ce qui fait 2k emplacements "orientés").

Je demande à voir un dessin d'un cycle. Je n'y crois pas. Comme je l'ai démontré la progression est une addition de portions d'échelle dont la corde opère la scission.

En fait, si il y a une possibilité. L'illusion de l'impossibilité vient de l'affichage de face de mon dessin. Dans le dessin, le passage se fait d'une échelle à l'autre, et si on peut revenir sur la même échelle cela ne peut l'être qu'à un niveau supérieur à la position précédente sur l'échelle.

Par contre, si on suppose que les échelles sont disposées en rond, la dernière échelle est la voisine de la première. Le cycle devient possible.

Non, c'est absolument impossible, parce que si il s'était trouvé une corde plus basse sur la première échelle, le singe aurait du l'emprunter. Ma théorie sur les cordes coupeuses d'échelle continue de fonctionner. On peut juste imaginer que l'addition des portions d'échelles soit infini, mais les conditions de la coupure d'une portion d'échelle ne se répète jamais.

musichien a écrit:

S'il revient au même endroit dans le même sens, il est clair qu'il reparcourera le même trajet, et ce un nombre infini de fois.
Ne pas arriver en haut d'une échelle signifie donc être pris dans un cycle.

Il faut maintenant montrer que, s'il existe des cycles, aucun singe ne peut entrer dans un tel cycle (pour cela, il suffit d'observer comment il serait possible de revenir au même endroit, et comment on devrait entrer dans le cycle, et montrer qu'alors, on ne peut pas rentrer dans le cycle).

Je t'ai laissé le cheminement de ma pensée (en barré).

Je suis définitivement convaincu que le cycle est impossible, même si le chemin peut être infini.

Citation :

Le temps ne faisait pas partie de l'énoncé du problème. On suppose juste que le parcours est possible ou impossible, pas qu'il prenne un temps infini. Tu ne vas pas nous sortir un paradoxe temporel, tout de même?

Non mais le fait que les singes se déplacent suppose l'existence du temps.
Je voulais juste dire qu'avec un trajet n'arrivant pas "en haut", donc ne s'arrêtant jamais, un singe tournerait infiniement dans les échelles et les cordes. Et cela montre qu'il arrivera 2 fois au même endroit, dans le même sens de parcours.

Citation :

Je demande à voir un dessin d'un cycle. Je n'y crois pas.

Je raisonnais par l'absurde.
(si non A alors B, or non B donc non (non A)= A)

Citation :

Non, c'est absolument impossible, parce que si il s'était trouvé une corde plus basse sur la première échelle, le singe aurait du l'emprunter.

Oui, c'était juste ça qu'il fallait dire.

Il faut montrer après que 2 singes n'arrivent pas au même endroit, mais c'est un argument tout à fait similaire.

Ca marche en posant qu'il y a trois choix : monter d'un étage, prendre une corde ou manger une banane?
En fait j'arrive pas à prouver qu'on ne peut pas rentrer dans un cycle, c'est à peu pret tout ce qui me bloque. Genre, si on y rentre, on sort forcément à un moment par le même endroit, j'imagine. Parce qu"on ne peut y rentrer que via une corde.

Cioran a écrit:

Ca marche en posant qu'il y a trois choix : monter d'un étage, prendre une corde ou manger une banane?
En fait j'arrive pas à prouver qu'on ne peut pas rentrer dans un cycle, c'est à peu pret tout ce qui me bloque. Genre, si on y rentre, on sort forcément à un moment par le même endroit, j'imagine. Parce qu"on ne peut y rentrer que via une corde.

Tu dois voir le chemin parcouru comme un ruban que tu coupes et que tu mets dans ta poche. Tu ne peux pas le parcourir deux fois. Un ruban coupé se situe entre deux cordes. Ce sont les cordes qui servent de ciseaux. Et un ruban qui est dans la poche ne peut être parcouru par un autre singe.

musichien a écrit:

Il faut montrer après que 2 singes n'arrivent pas au même endroit, mais c'est un argument tout à fait similaire.

Considérons, 2 singes, 2 échelles, 2 cordes

Les 2 cordes s'annulent et chaque singe arrive en haut de son échelle de départ. Les deux singes parcourent les cordes dans des sens opposés parce que leur point de départ est différent. Aucun singe ne parcoure le même trajet qu'un autre parce que lorsqu'un singe emprunte une corde dans un sens, l'autre doit l'emprunter dans l'autre sens. Seuls les barreaux peuvent être partagés, parce qu'ils peuvent être un point de départ ou d'arrivée. Le barreau est le point de scission d'une portion d'échelle. Le chemin, lui, est toujours individuel et n'est parcouru que par un seul singe. Un "morceau de ruban" ne peut être que dans une seule poche à la fois.

Si il n'y a qu'une corde, les singes changent d'échelle. Si il y a 3 cordes, c'est pareil que pour une corde. J'imagine que la parité doit permettre de réduire la variable corde à "1" ou à "2" entre 2 échelles. Ca c'est le mathématicien qui pourrait le dire.

Pour votre information, je vais être absent pendant 15 jours.

Cela semble juste, mais cela ne vaut pas une démonstration.

Citation :

En fait j'arrive pas à prouver qu'on ne peut pas rentrer dans un cycle, c'est à peu pret tout ce qui me bloque. Genre, si on y rentre, on sort forcément à un moment par le même endroit, j'imagine. Parce qu"on ne peut y rentrer que via une corde.

En fait, Reventlov l'a dit:
supposons qu'un singe entre dans un cycle.
Alors, cela signifie qu'il emprunte une corde, qui sera disons la première.
Puisque c'est un cycle, celui-ci devra le mener sous la première corde, pour pouvoir recommencer.
De plus, la dernière corde doit aboutir "trés près" de la première, de tel sorte qu'en réalité, il n'y a pas de cordes entre, sinon le singe sortirait du cycle en empruntant la corde entre.

On sait donc que si un singe entre dans un cycle, la première et la dernière corde sont "adjacentes".
Or, pour arriver à la première corde, il a dû être en-dessous à un moment.
Comme il n'y a pas de corde entre la première et la dernière, il a dû arriver en-dessous de la dernière, ce qui montre qu'il n'est pas entré dans le cycle puisqu'il a dû commencer par emprunter la dernière corde.

Voulez-vous toute la solution, bien rédigée et tout?

Ah ben oui tout connement...Bon ben j'ai ma réponse.

Problème:
Soit n un entier naturel fixé quelconque.

On dispose de n échelles, avec n bananes à leur sommet, et n singes à leur base.
Quelqu'un a tendu des cordes entre les barreaux de certaines échelles, 2 cordes jamais sur le même barreau.

Les singes commencent à monter. Ils ne savent que monter et emprunter des cordes. Ils sont obligés d'emprunter une corde lorsqu'ils en rencontrent une.

Lorsqu'un singe arrive au sommet d'une échelle, il mange la banane (si elle n'a pas déjà été mangée) et s'arrête de toutes façons.

Montrer que chaque singe mangera une banane.

Solution:

Il faut montrer 2 choses:
a) chaque singe arrivera au sommet d'une échelle.
b) chaque singe arrivera au sommet d'une échelle différente, sinon le 2ème singe arrivé n'aurait pas de banane.

a) Par l'absurde, supposons qu'il existe un singe n'arrivant jamais au sommet d'une échelle.
Puisque la seule façon de s'arrêter est d'arriver au sommet d'une échelle, ce singe ne s'arrêtera jamais, et fera un nombre infini de déplacements, un déplacement étant le fait de passer d'un barreau à un autre.

Or, il n'y a qu'un nombre fini de positions possibles, car un nombre fini de barreaux. Supposons qu'il y ait k barreaux.
Au bout de k+1 déplacements, on est sûr qu'il sera arrivé à un moment 2 fois sur le même barreau (c'est le principe des tiroirs).

Or, lorsqu'on est sur un barreau, il n'y a qu'une seule façon de continuer son chemin, puisque celui-ci est en quelque sorte "prédéterminé".
S'il revient 2 fois sur le même barreau, il va donc reparcourir le même chemin, donc re-revenir, donc re-reparcourir le même chemin, etc.
Il est donc pris dans un cycle.

Montrons qu'il est impossible d'entrer dans un cycle.
Lorsqu'on a un cycle et qu'on entre par un barreau, on doit revenir à ce barreau.
Pour y revenir, il faut arriver "plus bas", par une corde donc. Entre le barreau et la corde, il ne doit rien y avoir, sinon le singe ne reviendrait pas au barreau mais emprunterait une autre corde, sortant ainsi du cycle.

Or, pour entrer dans le cycle, il faut arriver sous le premier barreau.
Comme on ne peut pas y entrer entre la dernière corde et le premier barreau puisqu'il n'y a rien entre, on doit y entrer en arrivant encore en-dessous, donc sous la dernière corde.
Et alors, il est clair qu'on arrivera pas au premier barreau, puisqu'on devra emprunter la dernière corde, d'où la contradiction.

Ainsi, chaque singe arrive bien en-haut d'une échelle.

b) Supposons par l'absurde que 2 singes arrivent au même endroit.
Alors, remontons le temps.
Soit les singes parcourent tout le temps le même trajet, soit à un moment, ils divergent, ce qui signifie que dans le cours normal du temps, ils arrivaient d'endroits différents pour aller au même endroit, sur le même barreau.

Pour arriver sur un barreau, soit on y arrive par une corde, soit on y arrive par un barreau inférieur.
Puisqu'on a supposé qu'avant ce barreau, les singes n'étaient pas au même endroit, l'un arrive par une corde, l'autre par le barreau inférieur.
Celui qui arrive par le barreau inférieur emprunte la corde alors que celui de la corde continue sa progression, ce qui est impossible.

Ainsi, les singes ne divergeront jamais en remontant le temps, et au bout d'un moment, ils arriveront au pied de la même échelle, ce qui est absurde, ce qui conclut.

Un père lègue à ses 3 fils n pièces de masses différentes, la masse étant proportionnelle à la valeur.
Les n pièces sont de masses 1 g, 2 g, 3 g.... n g respectivement.
Pour quels n existe-t'il un partage équitable entre les 3 fils?

Rien, aucune réaction, pas d'idée, pas de question, de demande d'indice?

Bon je vais essayer :

La valeur totale vaut n.(n+1)/2
Il faut que ce soit un multiple de 3
Il faut donc : il existe k tel que n.(n+1)=6k

Bon et là j'ai remarqué que n=2,3,5 et 6 marchaient.
Je me suis dit que les n fonctionnant devaient être des paires espacées de 3. Plus simplement ça veut dire que les n ne marchant pas sont les n=1 modulo 3.

Il reste montrer ce qu'indique le flair !

Dans Z/3Z, la relation s'écrit n.(n+1) = 0 modulo 3 puisque 6k est multiple de 3

Si n=0 mod 3 --> OK
Si n=1 mod 3 --> NON
Si n=2 mod 3 : comme n+1 = 3 = 0 mod 3 --> OK

Voilà qui est démontré !

Réponse : les n qui marchent sont les n=0 ou 2 modulo 3

La réponse est bonne, mais la démonstration est fausse.

C'est plus subtil que ça.

Effectivement, il faut partir du fait que la valeur totale est n(n+1)/2 (peut-être certains veulent qu'on redémontre rapidement que 1+2+3...+n= n(n+1)/2 ?), et se dire qu'elle doit être divisible par 3, donc le cas où n est congru à 1 ne peut pas marcher (n=3k+1 pour ceux qui n'ont pas lu le truc sur Z/nZ ).

Et effectivement, les 2 autres cas marchent toujours (à partir d'un moment), mais pas à cause de la somme qui est divisible par 3, car le fait qu'elle soit divisible par 3 ne veut pas dire que les pièces soient effectivement "répartissables". Le fait que l'aire de 2 carrés soit l'aire d'un plus grand carré ne veut pas dire qu'on peut faire rentrer les 2 carrés dans le grand carré (ce qui est d'ailleurs faux).

Un exemple: n=3 ne marche pas du tout.
Parce-que chacun est obligé de prendre une pièce, donc il y en aura un à 1g, un à 2g, et un à 3g, qui n'est pas équitable.

La façon de montrer que ton résultat est quand même vrai ne requiert aucune théorie, juste du bricolage pratique.

Oups !

En plus j'y ai pensé mais je me suis laissé embarquer... Evidemment la somme doit être multiple de 3, mais c'est seulement une condition nécessaire !!!

Analyse : seuls les nombres congrus à 0 ou 2 modulo 3 peuvent convenir.

Synthèse : il faut vérifier que les nombres congrus à 0 ou 2 modulo 3 permettent la répartition, quitte à en éliminer.

************************

Soit n congru à 0 modulo 3. (n différent de 0)

Si n=3, la répartition est impossible

Si n=6, le total est 21. Il faut 7 unités par personne. 1+6 ; 2+5 et 3+4.
De plus, on peut les répartir tels qu'ils forment une somme "échelonnée" : 1+5 = 6 ; 3+4 = 7 ; 6+2=8. Ce qui permet de dire que la répartition sera possible pour n=9.

On pose P(k) l'affirmation : la répartition est possible pour n=3k jetons (en piles de k jetons)

On a P(2)
Soit k0 fixé >=2. On suppose P(k0). On a donc une répartition en 3 piles (A, B et C) de k jetons. On va remplacer un jeton de la pile A par un jeton de la pile B, de manière à diminuer la pile A de 1 et augmenter le total de la pile B de 1. Est-ce possible ? Pour cela, il suffit que la pile B possède un jeton consécutif à un jeton de la pile A. Ce qui est vrai car une pile ne possède pas k jetons consécutifs (sinon elle n'aurait pas le total adéquat).
Quand on passe à k0+3 jetons, on met le jeton k0+1 sur la pile B, le jeton k0+2 sur la pile C et k0+3 sur la pile A

D'où P(k0+1)

Par récurrence, on a P(k) pour tout k>=2

Soit n congru à 2 modulo 3 ie n=3k+2

Si n=5 : 1+4, 2+3 et 5
Essayons d'arranger la répartition pour qu'elle puisse "accueillir" les jetons 6, 7 et 8.
1+3, 2+4, 5
d'où 1+3+8, 2+4+6, 5+7

C'est pareil que pour là haut (presque)

Bon c'est mieux comme ça. Tout n'est pas forcément très rigoureux mais je pense que ça devrait te suffire

Ta démonstration marche, bravo.

Voilà ce que j'en ai compris (que je ré-explique pour nos amis non-matheux ):
Je reprends du début.

La valeur totale en jeu est 1+2+3+...+n= n(n+1)/2 . C'est une formule connue, que vous pouvez essayer de démontrer.

Il faut forcément pouvoir diviser cette valeur en 3, donc qu'elle soit divisible par 3, sinon il y aura un frère au moins qui aura plus qu'un autre ( si je veux répartir 4 en 3, il y en a forcément au moins 1 qui a 1 de plus qu'un autre...).
3 divise n(n+1)/2 si et seulement si 3 divise n(n+1) et si 3 ne divise pas n ni n+1, c'est clairement impossible.

Donc il faut forcément que 3 divise n ou n+1, c'est-à-dire que n=3k ou n+1=3k soit n=3k-1=3(k-1)+2 =3k' +2 où k et k' sont des entiers.

Maintenant, rien ne nous dit que dans ces cas là, il existe bien une répartition.
Protée utilise le principe de récurrence, qui est le suivant (simplifié):
on veut montrer qu'une propriété est vraie pour tout n entier naturel, par exemple que pour tout entier naturel n, n^3 -n est divisible par 6.
On note P(n) la propriété : "n^3-n est divisible par 6", pour n fixé cette fois.

Alors si on montre que P(n_0) est vraie (n_0 est un entier), et que si P(n) est vraie, alors P(n+1) aussi, alors P(n) est toujours vraie pour tout n plus grand que n_0.

C'est un principe assez évident en fait: je montre que la propriété est vraie pour une première étape. Je pose le pied sur la première marche.
Ensuite, je montre que si c'est vrai pour n'importe quelle étape, c'est vrai pour l'étape suivante, c'est-à-dire que j'apprends à monter les marches.
Alors, je saurai monter toutes les marches.

En pratique, si P(1) est vraie, comme on a montré que si P(n) est vraie, P(n+1 aussi), alors P(1+1)=P(2) est vraie, et donc P(2+1)=P(3) est vraie, et donc P(3+1)=P(4) aussi, etc. à l'infini.

Là, on pose P(n) = 3n est décomposable en 3 parts équitables.
P(2) est vraie.

Si pour n quelconque, P(n) est vraie, le partage se fait sur 3 piles A, B et C.

Par souci de clarté, je modifie un peu l'argument: il existe une pile dont la plus petite pièce n'est pas 1, forcément.
Disons que c'est la pile A (le nom n'a pas d'importance, la situation est symétrique).
Si son plus petit élément est m, alors la pièce m-1 est soit dans B, soit dans C, disons dans B par symétrie.

On met la pièce m-1 dans A, et la pièce m dans B, et alors, la somme dans les piles est respectivement: n-1, n+1, n.

Pour le cas P(n+1), il y a 3(n+1) =3n + 3 pièces, c'est-à-dire qu'on a rajouté 3n+1, 3n+2, et 3n+3 comme pièces par rapport à la situation précédente, et alors il suffit de mettre 3n+3 dans A, 3n+2 dans C et 3n+1 dans B pour que le tour soit joué.

Ainsi, si P(n) est vraie, P(n+1) aussi, donc par récurrence, P(n) est toujours vraie, c'est-à-dire que k=3n (k est un multiple de 3) marche toujours pour n plus grand que 2.

Le système est exactement le même avec le cas 3n+2.

On voit ici que l'initialisation, c'est-à-dire le fait de trouver le premier entier pour lequel la propriété P(n_0) est vraie (là c'était 2) est crucial, car si on avait trouvé une initialisation pour le cas qui ne marche pas, il aurait marché puisque le système d'hérédité (savoir monter une marche) reste vrai.

Seul les nombres plus grands que 5 (ou égaux) et s'écrivant n=3k ou n=3k+2 marchent donc.


J'ai fait aussi par récurrence, mais voici mon hérédité, peut-être un peu plus simple:
en fait, je montre que si n est "décomposable", n+6 aussi, car on rajoute n+1, n+2, n+3, n+4, n+5 et n+6 donc il suffit de répartir entre les 3 frères (n+1 + n+6), (n+2+ n+5) et (n+3 + n+4), et il suffit de faire simplement les premiers cas pour avoir l'initialisation.

Encore?